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不是满射的映射例子

来源:迷失传奇应用下载网阅读:184发布时间:2025-04-03 15:28:53

在数学领域中,映射(或称为函数)是一种基本概念,它描述了两个集合之间的元素对应关系。映射可以分为多种类型,包括单射、满射和双射等。其中,满射是指一个函数的值域等于其陪域,即对于陪域中的每一个元素,在定义域中都至少有一个元素与之相对应。然而,并非所有的映射都是满射。本文旨在通过具体的例子来说明不是满射的映射的情况,帮助读者更好地理解这一概念。

考虑一个从整数集⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z} ⁄⁄)到正整数集⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z}^+ ⁄⁄)的映射⁄⁄( f ⁄⁄),定义为⁄⁄( f(x) = |x| ⁄⁄)。这里,⁄⁄( |x| ⁄⁄)表示⁄⁄( x ⁄⁄)的绝对值。这个映射并不是满射,因为尽管对于⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z}^+ ⁄⁄)中的每个正整数⁄⁄( y ⁄⁄),都可以找到一个⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z} ⁄⁄)中的元素⁄⁄( x ⁄⁄)使得⁄⁄( f(x) = y ⁄⁄)(例如,⁄⁄( f(5) = 5 ⁄⁄)),但对于⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z}^+ ⁄⁄)中的任何负整数(比如-3),却找不到任何⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z} ⁄⁄)中的元素⁄⁄( x ⁄⁄),使得⁄⁄( f(x) = -3 ⁄⁄)成立。因此,这个映射不是满射的,因为它的值域(所有非负整数的集合)并不等于它的陪域(所有正整数的集合)。

另一个例子是从实数集⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)到实数集⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)的映射⁄⁄( g ⁄⁄),定义为⁄⁄( g(x) = x^2 ⁄⁄)。在这个映射中,⁄⁄( g ⁄⁄)也不是满射的。虽然对于⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)中的每个非负实数⁄⁄( y ⁄⁄),存在⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)中的元素⁄⁄( x ⁄⁄),使得⁄⁄( g(x) = y ⁄⁄)(例如,⁄⁄( g(3) = 9 ⁄⁄)),但是对于⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)中的每个负数,如-4,不存在任何⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)中的元素⁄⁄( x ⁄⁄),使得⁄⁄( g(x) = -4 ⁄⁄)成立。这是因为平方运算的结果总是非负的,这意味着映射⁄⁄( g ⁄⁄)的值域(所有非负实数的集合)并不覆盖其陪域(所有实数的集合),从而证明⁄⁄( g ⁄⁄)不是满射的。

这两个例子清晰地展示了不是满射的映射的情况。通过这些例子,我们可以看到,即使一个映射能够将定义域中的元素映射到陪域中的某些元素,但如果陪域中存在一些元素无法被定义域中的元素通过该映射到达,则这个映射就不是满射的。这有助于我们更深入地理解和应用映射的概念。

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