在数学领域中，映射（或称为函数）是一种基本概念，它描述了两个集合之间的元素对应关系。映射可以分为多种类型，包括单射、满射和双射等。其中，满射是指一个函数的值域等于其陪域，即对于陪域中的每一个元素，在定义域中都至少有一个元素与之相对应。然而，并非所有的映射都是满射。本文旨在通过具体的例子来说明不是满射的映射的情况，帮助读者更好地理解这一概念。
考虑一个从整数集⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z} ⁄⁄)到正整数集⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z}^+ ⁄⁄)的映射⁄⁄( f ⁄⁄)，定义为⁄⁄( f(x) = |x| ⁄⁄)。这里，⁄⁄( |x| ⁄⁄)表示⁄⁄( x ⁄⁄)的绝对值。这个映射并不是满射，因为尽管对于⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z}^+ ⁄⁄)中的每个正整数⁄⁄( y ⁄⁄)，都可以找到一个⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z} ⁄⁄)中的元素⁄⁄( x ⁄⁄)使得⁄⁄( f(x) = y ⁄⁄)（例如，⁄⁄( f(5) = 5 ⁄⁄)），但对于⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z}^+ ⁄⁄)中的任何负整数（比如-3），却找不到任何⁄⁄( ⁄⁄mathbb{z} ⁄⁄)中的元素⁄⁄( x ⁄⁄)，使得⁄⁄( f(x) = -3 ⁄⁄)成立。因此，这个映射不是满射的，因为它的值域（所有非负整数的集合）并不等于它的陪域（所有正整数的集合）。
另一个例子是从实数集⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)到实数集⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)的映射⁄⁄( g ⁄⁄)，定义为⁄⁄( g(x) = x^2 ⁄⁄)。在这个映射中，⁄⁄( g ⁄⁄)也不是满射的。虽然对于⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)中的每个非负实数⁄⁄( y ⁄⁄)，存在⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)中的元素⁄⁄( x ⁄⁄)，使得⁄⁄( g(x) = y ⁄⁄)（例如，⁄⁄( g(3) = 9 ⁄⁄)），但是对于⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)中的每个负数，如-4，不存在任何⁄⁄( ⁄⁄mathbb{r} ⁄⁄)中的元素⁄⁄( x ⁄⁄)，使得⁄⁄( g(x) = -4 ⁄⁄)成立。这是因为平方运算的结果总是非负的，这意味着映射⁄⁄( g ⁄⁄)的值域（所有非负实数的集合）并不覆盖其陪域（所有实数的集合），从而证明⁄⁄( g ⁄⁄)不是满射的。
这两个例子清晰地展示了不是满射的映射的情况。通过这些例子，我们可以看到，即使一个映射能够将定义域中的元素映射到陪域中的某些元素，但如果陪域中存在一些元素无法被定义域中的元素通过该映射到达，则这个映射就不是满射的。这有助于我们更深入地理解和应用映射的概念。
